機構や構造に見られる曲線

好天であれば、伊豆大島から富士山が良く見えます。山頂から、なだらかに伸びる美しい曲線を持つ富士山。この富士山の美しい輪郭には力学的な理由があるのかもしれません。このことを探求するために、身の回りの自然にだけでなく、人工物の形状に目を向けてみましょう。美しい曲線と数学との接点を見出せるかもしれません。

インボリュートinvolute曲線（円筒に巻きつけた糸をたるむことなく解くときに糸の先端が描く曲線）は歯車の歯型に多く用いられています。2つのインボリュート曲線は図1に示すように一定角度を持って基本的には転がり接触するようにでき、不要な摩擦を低減しています。

あまり一般的ではないものの、サイクロイドcycloid曲線（円板が直線上を滑ることなく転がるときに円周上の一点が描く軌跡）も歯車の歯型に用いられています。

トロコイドtrochoid曲線とは、任意の曲線上を円板が滑らずに転がるときに円に固定された1点が描く軌跡です。この曲線を外周および内周に設けた回転子（外周をアウターロータ、内周をインターロータ）を組合せて回転運動を与えると，これらの間にできた空間に閉じ込めた流体を輸送するポンプとして働く（図2）。

クロソイドclothoid曲線と呼ばれる螺旋の一部は高速道路のカーブ形状に用いられています。図3に示すように一定曲率区間の前後の緩和区間にクロソイド曲線を用いると、車のハンドルを一定速度で切った後にその角度を維持し、直線区間に入る前に一定速度でハンドルを戻すような操作となります。このような曲線を用いることでハンドルを一気に切るのではなく、滑らかに切ることができます。

ループコースターの曲線部にも一部にクロソイドが用いられることがあります。これにより、コースの曲率変化が滑らかになるため、乗客に作用する加速度を滑らかに変化させることができ、むち打ちのような症状への影響を抑えることができます。

担当：諸貫信行（システムデザイン研究科 知能機械システム学域・教授）

インボリュート歯形 / 回転 / クロソイド / トロコイド / 曲線